Nie jest ważne, czy rączki są duże czy małe ani jak są ułożone. b spośród wszystkich powierzchni jedynie sfera dwuwymiarowa ma tę własność, że każdą pętlę zamkniętą można w niej płynnie zdeformować do punktu (a), natomiast na przykład na torusie istnieją pętle, które podczas każdej próby deformacji do punktu „uwięzną" wokół dziury w środku (b). Hipoteza Poincarego orzeka, że sfera trójwymiarowa jest jedyną rozmaitością trójwymiarową o analogicznej własności: na niej i tylko na niej można każdą zamkniętą krzywą płynnie zdeformować do punktu. otrzymuje się, sklejając dwa końce długiego paska skręconego w środku o 180°. Sfera, z której wycięto niewielki dysk, jest rozmaitością z brzegiem. Wstęga Móbiusa też jest rozmaitością z brzegiem. Jeśli Wszechświat jest nieograniczony, to z topologicznego punktu widzenia jest tak, jakby miał brzeg nieskończenie daleko). Wygładzanie dowód perelmana jest pierwszym, który wytrzymuje szczegółowe sprawdzanie. Użyta w nim metoda badania topologii rozmaitości trójwymiarowych wiąże się z zabiegiem nazywanym geometryzacją. Geometria opisuje rzeczywiste kształty obiektu lub rozmaitości: z punktu widzenia geometry przedmioty nie są wy konane z miękkiej plasteliny, lecz z wypalonej gliny. Filiżanka ma więc geometrię inną od obwarzanka; jego powierzchnia jest zakrzywiona w inny sposób. Mówi się, że filiżanka i obwarzanek są (o ile filiżanka ma jedno uszko) dwoma modelami topologicznego torusa o odmiennych geometriach.