Ponieważ potrzebne jest rozcinanie lub sklejanie, dla topologa kula nie jest tym samym, co obwarzanek. Tym, co interesuje topologa najbardziej, są powierzchnie kuli i obwarzanka zamiast więc myśleć o bryłach, powinniśmy w obu przypadkach wyobrażać sobie baloniki. Ich topologie są różne: balonika w kształcie sfery nie można przekształcić w balonik w kształcie dętki rowerowej, nazywany torusem. Tak więc dla topologa sfera i torus są istotnie różnymi obiektami. W początkach istnienia topologii matematycy postanowili odpowiedzieć na pytanie, ile jest takich istotnie różnych obiektów i jak można je scharakteryzować.