Aby dać pewne wyobrażenia o sposobie, w jaki geometryzacja pomogła perelmanowi, opowiemy, jak można powiązać geometrię z klasyfikacją rozmaitości dwuwymiarowych, czyli powierzchni. otóż każdą powierzchnię można wyposażyć w specjalną, unikalną geometrię taką geometrię, która sprawia, że krzywizna powierzchni jest idealnie równomiernie rozłożona na całej rozmaitości. W przypadku sfery taką specjalną geo metrię ma doskonale symetryczna sfera obrotowa. Jajo to inny możliwy kształt topologicznej sfery, ale jego krzywizna nie jest równomiernie rozłożona wszak cienki koniec jaja jest bardziej zakrzywiony niż gruby.