Dla obiektów dwuwymiarowych, nazywanych powierzchniami, odpowiedź jest jasna i elegancka: wszystko zależy tylko od tego, ile „rączek" ma dana powierzchnia [ilustracja na stronie 74]. Ostatni uniwersalista pod koniec xix wieku matematycy zrozumieli, jak należy sklasyfikować powierzchnie. Wiedzieli, że sferę wyróżnia spośród wszystkich powierzchni jej unikalna prostota. Było więc rzeczą naturalną, że zaczęły ich ciekawić rozmaitości trójwymiarowe. Pytanie na początek: czy sferę trójwymiarową też wyróżnia jej unikalna prostota, podobnie jak sferę dwuwymiarową? W stuletniej historii, której początkiem było to elementarne pytanie, pełno jest błędnych kroków i błędnych dowodów.