Około roku 1900, korzystając z metod tej dziedziny, sformułował nowy sposób „mierzenia" topologii obiektu, nazywany homotopią. Aby zrozumieć, jak określa się homotopię rozmaitości1, należy wyobrazić sobie zanurzoną w tej rozmaitości zamkniętą pętelkę. Pętla może być pozawijana wokół rozmaitości w dowolnie fantazyjny sposób. Zadajemy pytanie: czy można tę pętlę płyn nie zdeformować inaczej: ściągnąć do punktu, wykonując dowolne ruchy, ale nie rozcinając jej i nie „wyjmując" ani na chwilę choćby fragmentu pętelki z rozmaitości. W przypadku torusa odpowiedź brzmi: nie. Jeśli pętla obiega torus dookoła, to nie można jej zdeformować do punktu uwięźnie po wewnętrznej stronie obwarzanka. Homotopia to miara tego, ile jest wszystkich możliwych sposobów uwięźnięcia tych pętli, które nie dają się zdeformować do punktu.