Na sferze nwymiarowej każdą pętlę niezależnie od tego, jak dziwacznie została zaplątana można bez rozcinania odplątać i ściągnąć do punktu. (Pozwala my, aby podczas tych manipulacji pętla przecinała siebie samą). Poincare wysunął przypuszczenie, że jedyną rozmaitością trójwymiarową, na której każdą pętlę można ściągnąć do punktu, jest sfera trójwymiarowa. Nie potrafił jednak tego udowodnić. Po pewnym czasie zaczęto to przypuszczenie nazywać hipotezą Poincarego. Wiele osób zgłaszało dowody tej hipotezy jak się później okazywało, błędne. (Dla jasności: w całym tekście nie biorę pod uwagę dwóch możliwych komplikacji tzw. rozmaitości nieorientowalnych i rozmaitości z brzegiem. Nieorientowalna jest na przykład wstęga Móbiusa